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今日はこれを証明しようと思う。

高校生の頃から自己啓発、ハウツー系の本を読みあさるも行動を全くしないノウハウコレクターの私が自分を変えるために、本に書いてあることを実践し、どんな変化があるか証明していくブログ。まぁ色々書くけどね(笑)

トーナメントの総試合数は1秒で計算することができる

数学


正月と言ったら全国高校サッカー選手権大会

私もこの記事を書きながら「国学院久我山VS明秀日立」の試合を見ています。

 

今年のトーナメント表がこちらです。

全部で48校が出場しています。

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引用:第94回全国高校サッカー選手権大会(2016年度)組み合わせトーナメント表と概要

 

よく見るタイプのトーナメント表ですね。

 

ここであなたに質問があります。

今年の高校サッカー選手権の総試合数を計算できますか?

 

 

もちろん数えればわかります。

けど、もし参加校数が1000校だったら数えられますか?

10000校だったら数えられますか?

 

実は私は1秒で計算できてしまうんです。

 

その方法をあなたは知っていますか?

今日はそんなちょっとした数学の雑学をあなたにお届けします。

 

まずは少ない数で求めてみよう!

こういう時は少ない数で計算すると法則が見えてくることがあります。

ちょっと難しい言葉を使うと「帰納的に考えていく」とか言ったりします。

 

まずは出場校が2校だった時の場合を考えてみましょう。

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いきなり決勝戦なので1試合です。笑

 

では出場校が3校では?

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これも簡単!全部で2試合ですね!

 

もうちょっと考えてみましょう。

出場校が4校のときは?

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全部で3試合ですね。

ちょっとここでまとめてみましょう。

 

1:出場校が2校のときは総試合数は1試合

2:出場校が3校のときは総試合数は2試合

3:出場校が4校のときは総試合数は3試合

 

実は出場校が5校のときの総試合数は4試合です。

気になる人は自分でやってみてください!

 

ここまで計算すると、ある予想が浮かび上がりますよね。

 

もしかすると…

出場校数から1を引けば総試合数が求まるんじゃないか?

なんじゃないか?

 

そうです。正解です。

実はトーナメントの総試合数は

(総試合数) = (出場校数) − 1

で求められるんです。

 

なので今年の全国高校サッカー選手権は48校が出場するので、総試合数は47試合なのです。

 

どうですか?

これで誰でも総試合数を1秒で求めることができます!

 

なんで 「(出場校数) − 1」で求められるの?

なぜ1を引けば総試合数が求められるのでしょう?

本当にがっつり数学的に証明すると「集合」とか「全単射」とか難しい話になってしまいます。

ここではそんな難しい話は抜きにして、わかりやすく解説します。

 

まずトーナメント戦の特徴を考えてみましょう。

・優勝するチームは1チームだけ

・1試合ごとに必ずどちらかのチームが敗北する

この2つの特徴をおさえると、難しい計算をしなくても先ほどの式が導き出せてしまうのです。

 

勘がいい人はもうわかったのではないでしょうか?

 

もう少し詳しく解説します。

今回の高校サッカー選手権の例だと48校のトーナメント戦になります。

ということは優勝チームを除いた、47チームが敗北しないといけません。

ということは1試合に1チームしか敗北することはないので、総試合数は47試合ということになるのです。

 

どうですか?

めっちゃ簡単に求められてしまうんですよ!

 

ではこういった場合はどうでしょう?

 

変則トーナメントでも総試合数は変わらない

例えば下のトーナメント表をみてください。

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引用:【高校サッカー】青森山田高校がシードされすぎってレベルじゃねえぞ!

 

これは全国高校サッカー選手権の青森県予選のトーナメント表です。

なんと青森山田高校は準決勝から登場するというスペシャルシードです。笑

 

こんな場合のトーナメント表でも総試合数は変わりません!

なぜなら先程も書いたとおりです。

トーナメントの組み方が変則でも結局は優勝チーム以外の敗北チームの数だけ試合を行うからです。

 

この例ですと出場校は25チームなので総試合数は24試合になります。

気になる人は数えてみてください!

 

数学って難しい式をガリガリ計算していくイメージがあるかもしれません。

しかしこんな使い方もできるんですね!

 

是非、この話を飲み会の小ネタにしてみてはいかがでしょうか?

理系男子は合コンで話せば人気者になれるかも?笑

 

以上!数学雑学でした〜。

 

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